a: Xét ΔABN vuông tại N và ΔACM vuông tại M có

AB=AC
\(\widehat{BAN}\) chung

Do đó: ΔABN=ΔACM

Suy ra: BN=CM

b: Xét ΔMBC vuông tại M và ΔNCB vuông tại N có 

BC chung

MC=BN

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

Suy ra: \(\widehat{HCB}=\widehat{HBC}\)

hay ΔHBC cân tại H

c: Xét ΔABC có AM/AB=AN/AC

nên MN//BC

1)Xét TG AMC vg và TG ANB vuông, có

<A chung

AB=AC(ABC cân)

=>TG AMC = TG ANB(ch-gn)

=>BN=CM(2 cạnh tương ứng)

2) Ta có TG ABN=TG ACM=>ABN=ACM

3) Ta có TG ABN=TG ACM=>AM=AN=>BM=CN(M thuộc AB, N thuộc AC)

=>TG BMH=TG CNH=>BH=CH(2 cạnh tương ứng)

=>TG BHC cân tại H

4) AM=AN(TG ABN=TG ACM)=> TGAMN cân tại A

TG AMN cân tại A có

M=N=(180⁰-A)/2 (1)

và TG ABC cân tại A có

B=C=(180⁰-A)/2 (2)

(1)(2)=>M=B MÀ 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>MN//BC

5) ta có TG ABC cân tại A

=>AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (H là giao điểm 2 đường cao BN,CM)

mà AD cũng là trung tuyến ứng với cạnh BC (D là trung điểm BC)

=>AH và AD trùng nhau hay A,H,D thẳng hàng

!!!!!!!CHÚC!!!MAY!!!MẮN!!!!!!!

Bài 17 :Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC. Chứng minh : a) MN // BC b) BN=CM Bài 18 : Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N tk nha

a) Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)

\(AN=NC=\dfrac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AM=MB=AN=NC

Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(cmt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

b) Xét ΔANM có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

hay \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đoc của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{AMN}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tam giác ABN và tam giác ACM có 

\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\AM=AN\left(\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AC\right)\\\widehat{A}\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM\left(\text{c.g.c}\right)\)

=> BN = CM (cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)(cạnh tương ứng)

b) Vì \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC\text{ cân}\right)\\\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABN}=\widehat{ACB}-\widehat{ACM}\)

=> \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\text{ hay }\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\Rightarrow\Delta HBC\text{ cân tại H }\left(ĐPCM\right)\)

=> HB = HC

c) Qua H kẻ đường thẳng PQ // BC (Q \(\in AC;P\in AB\))

Vì PQ//BC

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{APQ}=\widehat{ABC}\left(\text{đồng vị}\right)\\\widehat{AQP}=\widehat{ACB}\left(\text{ đồng vị}\right)\end{cases}}\text{mà }\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{APQ}=\widehat{AQP}\)

=> Tam giác APQ cân tại A

=> AP = AQ

=> PB = QC

Xét tam giác PBH và tam giác QCH có  : 

\(\hept{\begin{cases}PB=QC\left(cmt\right)\\HB=HC\left(\text{câu b}\right)\\\widehat{PBH}=\widehat{QCH}\left(\Leftrightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(\text{câu a}\right)\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta PBH}=\Delta QCH\left(c.g.c\right)\)

=> PH = QH (cạnh tương ứng)

Xét tam giác APH và tam giác AQH có : 

\(\hept{\begin{cases}AP=AQ\\PH=QH\\AH\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta APH=\Delta AQH\left(c.c.c\right)\) 

=> \(\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}\left(\text{cạnh tương ứng}\right)\text{ mà }\widehat{AHP}+\widehat{AHQ}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}=90^{\text{o}}\Rightarrow AH\perp PQ\)

Lại có PQ//BC

=> AH \(\perp\)BC (đpcm)

a) \(\Delta ABC\)cân tại A\(\Rightarrow AB=AC\)

Xét \(\Delta ABN\)và\(\Delta ACM\)có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{ANB}=\widehat{AMC}=90^0\\AB=AC\\\widehat{A}\end{cases}\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM}\)(cạnh huyền góc nhọn)\(\Rightarrow BN=CM\)

b)\(\Delta ABN=\Delta ACM\Rightarrow\hept{\begin{cases}AN=AM\Rightarrow AC-AN=AB-AM\Rightarrow NC=MB\\\widehat{NCI}=\widehat{MBI}\left(\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\right)\end{cases}}\)

Xét \(\Delta NIC\)và \(\Delta MIB\)có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{CNI}=\widehat{BMI}=90^0\\NC=MB\\\widehat{NCI}=\widehat{MBI}\end{cases}\Rightarrow\Delta NIC=\Delta MIB\left(g.c.g\right)\Rightarrow IB=IC\Rightarrow\Delta IBC}\)cân tại \(I\)

c) \(\Delta NIC=\Delta MIB\Rightarrow IN=IM\Rightarrow\Delta MIN\)cân tại \(I\)\(\Rightarrow\widehat{IMN}=\widehat{INM}=\frac{180^0-\widehat{MIN}}{2}\left(1\right)\)

\(\Delta IBC\)cân tại \(I\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=\frac{180^0-\widehat{BIC}}{2}\left(2\right)\)

\(\widehat{BIC}=\widehat{MIN}\)(đối đỉnh)\(\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3)\(\Rightarrow\widehat{IMN}=\widehat{INM}=\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(2 cặp góc so le trong)\(\Rightarrow MN\)//\(BC\)

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

a, xét ΔAMC và ΔANB có : ^A chung

AB = AC do ΔABC cân tại A (gt)

^ANB = ^AMC = 90

=> ΔAMC = ΔANB (ch-gn)

=> AM = AN (định nghĩa)

b, xét ΔBMC và ΔCNB có : BC chung

^ABC = ^ACB do ΔABC cân tại A (gt)

^BMC = ^CNB = 90

=> ΔBMC = ΔCAB (ch-gn)

=> ^HBC = ^HCB (định nghĩa)

=> ΔHBC cân tại H (định nghĩa)

=> HB = HC 

=> H thuộc đường trung trực của BC (định lí)

AB = AC (Câu a) => A thuộc đường trung trực của BC (Định lí)

=> AH là trung trực của CB (đl)

Bài làm

a) Xét tam giác AMC và tam giác ANB có:

^AMC = ^ANB = 90°

Cạnh huyền: AB = AC ( tam giác ABC cân )

Góc nhọn: ^A chung.

=> ∆AMC = ∆ANB ( cạnh huyền-góc nhọn )

=> AM = AN ( hai cạnh tương ứng )

b) Xét tam giác ABC có:

CM  |  AB ( gt )

BN  |  AC

Mà CM cắt BN tại H

=> H là trực tâm.

=> AH  |  BC

Mà tam giác ABC cân tại A

=> AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

=> AH là trung trực của BC . ( Đpcm )

c) Gọi giao điểm của AH và BC là I

Nối NI, và NI // MB ( bạn có thể tìm cách chứng minh nó song song ), nối MN 

Vì AM = AN => Tam giác AMN cân tại A

=> ^AMN = ( 180° - ^A )/2

Tam giác ABC cân tại A => ^ABC = ( 180° - ^A )/2

=> ^AMN = ^ ABC  mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

=> MN // BC.

=> ^MNB = ^NBI 

Xét tam giác BMN và tam giác NIB có:

^MNB = ^NBI ( so le trong)

BN chung.

^MBN = ^INB ( so le trong )

=> ∆BMN = ∆NIB  ( g.c.g )

=> MN = IB 

Mà BI = IC ( do AI trung trực )

=> IC = MN

=> ( BI + IC )/2 = MN

=> 2MN = BC ( đpcm )

a) Xét \(\Delta\)ABN và \(\Delta\)ACM có:

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{ANB}=\widehat{AMC}=90^o\)

=> \(\Delta ABN=\Delta ACM\left(ch-gn\right)\)